LAS PRIMERAS AXIOMÁTICAS
La historia entera de la geometría atestigua una tendencia constante a restringir cada vez más su dominio y acrecentar otro tanto las exigencias lógicas. Pero en el siglo XIX con la aritmetización del análisis el movimiento acelero, separaciones sorprendentes se manifestaron así entre las sugestiones falaces de la intuición y las enseñanzas indubitables de la demostración. Dos ejemplos memorables: no es verdad que a una curva continua se pueda trazar siempre una tangente (weierstrass), no es falso que una curva, línea sin anchura, pueda cubrir toda la superficie de un cuadrado (peano).
Es pasch quien en 1882 intentó la primera axiomatización de la geometría. Si su solución presenta muchas imperfecciones, debidas en parte al hecho de que el autor conserva la actitud del empirismo clásico, al menos planteó claramente el problema: “para que la geometría llegue a ser verdaderamente una ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométrios, como debe serlo de las figuras; solo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos.
Las reglas establecidas por pasch comportan una distinción entre los términos o proposiciones propias al sistema axiomatizado y los que son lógicamente anteriores. Las demostraciones no hacen llamado sólo a las proposiciones del sistema para integrar estas en demostraciones, es necesario utilizar reglas lógicas de encadenamiento. En relación a la ciencia así axiomatizada, la lógica se llama anterior. Además de la lógica, un sistema geométrico presupone ordinariamente la aritmética. De una manera general, se llamará anteriores a un sistema axiomático todos los conocimientos a los que ese sistema hace, así llamado. Se notara si una axiomatica se presenta como un sistema puramente formal, los conocimientos de que tiene necesidad para constituirse son, los mismos, nociones entendidas en la plenitud de su sentido y tesis tomadas en su verdad material.
Un ejemplo de axiomática es la que peano construyo para la teoría de los números naturales: en primer lugar porque su brevedad permitirá exponerla toda entera, luego porque se encuentra en ella una ilustración simple y notable del carácter de equivocidad.
Pues no somporta sino tres términos primeros: cero, el numero, el sucesor de- y cinco proposiciones primeras:
1.- cero es un numero
2.- el sucesor de un numero es un numero
3.- varios números cualesquiera no pueden tener el mismo sucesor.
4.- cero no es el sucesor de ningún numero
5.- si una propiedad pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números
Como segundo ejemplo es la axiomática que hilbert dio a la geometría euclidiana
1. No se contento con despejar los axiomas, de los cuales algunos habían pertenecido hasta entonces implícitos y enumerarlos: los repartió según las nociones fundamentales que utilizan en 5 grupos y se esforzó para cada uno de estos grupos o para sus combinaciones en precisar y delimitar el dominio de los teoremas que determinan. Los del primer grupo establecen un enlace entre los conceptos de punto, de recta y de plano: son los axiomas característicos de la geometría proyectiva. Los del segundo grupo, los axiomas del orden, fijan el sentido de la palabra entre: son los axiomas topológicos. El tercer grupo contiene los 6 axiomas de la congruencia o igualdad geométrica. El cuarto grupo no comporta sino solo axioma, el de las paralelas. El ultimo grupo se refiere a la continuidad y cuenta con dos axiomas a los que pertenece el llamado de arquimides, el cual viene a enunciar que añadiendo sucesivamente un segmento a si mismo sobre una recta a partir del punto A se podrá siempre superar un punto B cualesquiera de esa recta. Además holbert estableció la no- contradicción de su sistema de axiomas y sobre la independencia mutua de sus elementos.
