IV.-El método axiomático en la ciencia
En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interes limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, mas que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superflojo, una suerte de juego intelectual apto para satisfacer a espiritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor logico, pero al margen del trabajo cientifico verdaderamente productivo.
La historia de la ciencia, sin embargo, muestra de manera superabundante que a menudo las investigaciones inicialmente mas desinteresadas son las que se revelan finalmente, como las mas fecundadas.
Para la reflexion, las ventajas del metodo axiomatico son manifiestas. Es, en primer lugar, un preciso instrumento de abstracciones y analisis. Ante el tratamiento axiomatico, las nociones fundamentales de una teoria quedan a menudo aun confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas: nada nos garantiza entonces que estos diversos elementos seguiran siendo simpre compatibles, nada nos precave contra el peligro de resbalar inconscientemente, en nuestros razonamientos, del uno al otro.
Cada teoria saca provecho de las que se le conocen actualmente como emparentadas. Se transfiere aquí, en donde nada intuitivo las sugeria, los resultados adquieridos en otra parte. El rigor del metodo de exposición conduce, asi, a fin de cuentas, a su fecundidad para el descubrimiento.
La axiomatizacion de las matematicas
La teoria de los grupos, por ejemplo, de la que se ha podido decir que es la matematica despojada de su substancia y reducida a su forma, nacio entes que ella y se desarrollo, en primer lugar, de manera independiente; mas el espiritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomatica, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos ordenes de investigaciones se encuentran asociados de modo muy intimo.
Se opya en las tendncias mismas que caracterizan al espiritu matematico europeo y que no han hecho sino exasperarse desde hace un siglo, por eso el metodo axiomatico no puede disociarse bien.
Todas la teorias matematicas, desde la aritmetica y la teoria de los conjuntos hasta el calculo de probabilidades, han sido axiomatizadas hoy, y a menudo de multiples maneras.
Las cosas eran claras en la fase empirica e inductiva: dejandonos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades. El analisis axiomatico, destaca las estructuras de las teorias particulares ya constituidas, y revela asi las analogias formales entre teorias a menudo muy alejadas por su contenido y, por esta razon, permanece independiente.
Las teorias matematicas estan puestas en correspondencia con teorias extramatematicas, y particularmente con teorias logicas: el calculo de probabilidades con ciertas logicas plurivalentes, la topologia con ciertos calculos de logica modal.
Las similitud de funciones conduce tambien a crear, para una teoria, nociones abstractas que nada podian sugerir mientras se les tenga sujetas a su interpretación primitiva, de la cual nacen nuevos seres matematicos.
No solamente las teorias particulares son las que se aprovechan del tratamiento axiomatico. Las fisonomia del conjunto de las matematicas se encuentra transformada. En razon de parentescos inospechados que de pronto se revelan ahí, el universo matematico se distribuye.
El orden tradicional, que repartia las disciplinas matematicas según los objetos estudiados (aritmetica, algebra, analisis infinitesimal, geometria), parecen hoy tan superficiales como las antiguas clasificaciones zoologicas, que agrupan a los animales según sus semjanzas exteriores (acuaticos, terrestres, aereos) en lugar de fundarse sobre la similitud de las estructuras.
Por ejemplo se coordinan teorias que tratan de objetos muy diferentes, pero dotados de propiedades formales analogas: la teoria de los numeros primos esta proxima a la de las curvas algebraicas, la geometria euclidiana a las ecuaciones integrales simetricas.
De la cual se funda sobre la jerarquia de las estructuras, yendo de las mas simples y de las mas generales a las mas complejas y a las mas especiales. En primer lugar, algunas estructuras maestras de un carácter mas amplio: estructuras algebraicas, estructuras de orden, estructuras topologicas, etc.
La axiomatizacion en las otras ciencias
El tratamiento axiomatico no fue solamente aplicado a las matematicas, se desbordo por ambos lados. No debe sorprendernos de que un metodo que se propone suplantar la intuición por la logica haya encontrado su terreno de eleccion en la logica misma.
Esta ciencia hace de ella hoy un empleo regular y sistematico, su uso disminuye a medida que se desciende la escala de las ciencias, que se pasa de la mecanica a las otras partes de la fisica, y de ahí a las otras cencias de la naturaleza.
Una axiomatica permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoria deductiva previa, la cual no tiene valor cientifico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente.
La fisica inductiva en los siglos XVII y XVIII, abrio en el siglo XIX la era de las grandes teorias deductivas, y ha llegado hoy al punto en donde el tratamiento axiomatico le resulta aplicable demasiado ampliamente.
Ciertos rasgos de las teorias nuevas las cuales, se apoyan en todo saber adquirido anteriormente, aun cuando lo corrijan las destinaban a ello, y no solamente el hecho de que nacieron en la estacion misma en que florecia la axiomatica.
Una fisica tal es necesariamente estructural, la cual pide expresamente la subordinación de los terminos a las relaciones, tan caracteristicos del ordenamiento axiomatico. Si no se ha extendido mucho el uso de exponer axiomáticamente el contenido de la fisica clasica, no es que la cosa presente dificultades especiales, al menos para las partes ya sistematizadas.
La axiomatica es el perfeccionamiento de la teoria deductiva, lo cual quiere decir tambien que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la via de la axiomatica.
La masa, la fuerza, el potencial, la resistencia, son entidades abstractas; sugeridas, como su nombre lo recuerda, por imágenes, pero cuyo sentido propiamente cientifico es fijado unicamente por las relaciones que sostienen entre ellas y con otras de igual naturaleza. Estas nociones intuitivas han servido, en el origen, para establecer las leyes, pero una vez construida la red de las leyes, la perspectiva se ha invertido: es el conjunto de principios de la mecanica clasica, de la termo-dinamica, de la oprica, que da de las nociones fundamentales de cada una de las teorias, una “definición disfrzada”.
Limites del método axiomático
Las ventajas de este método disimulan los limites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones.
Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición.
La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su ves ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza.
Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir.
Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados.
El beneficio del método axiomatico no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulacion: por mas perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, asi fuesen, cada vez, mas minimas y espaciadas.
