LA AXIOMÁTICA

LA AXIOMÁTICA

Los axiomas  también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa. Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, mas justamente una postulantica. El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual.  Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concesible, el axioma seria una proposición analítica que constituiría un absurdo negar.  En el punto de partida de una teoría deductiva, concebida para satisfacer a las exigencias lógicas , deberán figurar no únicamente los tres “principios” tradicionales: definiciones, axiomas y postulados, sino proposiciones no demostradas que se llamaran “indiferentemente axiomas o postulados y términos no definidos: y todo el trabajo ulterior consistirá en construir a partir de ahí proposiciones nuevas, justificadas por medio de demostraciones y de términos nuevos, fijados por medio de definiciones. La definición y la demostración dependen entonces, propiamente  hablando, de la retórica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. Sin embargo, en la otra hipótesis, no tienen más que una función lógica: reunir todos los términos y todas las proposiciones en un conjunto sistemático. Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un Circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la acompaña. En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, más que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superflojo, una suerte de juego  intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo. Una axiomática permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoría deductiva previa, la cual no tiene valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente. Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir. Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados. La axiomática es el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual quiere decir también que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la vía de la axiomática. Las ventajas de este método disimulan los límites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones. Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición. La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su ves ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza. Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir. Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados. El beneficio del método axiomático no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulación: por mas perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, asi fuesen, cada vez, mas mínimas y espaciadas.