TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Subtema: Noción de la probabilidad

HISTORIA DE LA PROBABILIDAD

Aproximadamente por el año 3500 A. C, juegos practicados con objetos de hueso, que podríamos considerar como los precursores de los dados, fueron ampliamente desarrollados en Egipto y otros lugares. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticos a los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del año 2000 A. C. Sabemos que el juego de los dados ha sido popular desde esa época y generalmente que la teoría matemática de la probabilidad fue iniciada por los matemáticos Blaise Pascal y Fermat. 

Se llama probabilidad de un suceso a la relación entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles ya sean favorables. La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Durante el siglo XVIII debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo.

PROBABILIDAD

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

EXPERIMENTO ALEATORIO

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.  La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

PROBABILIDAD CLÁSICA

n  La fórmula de la probabilidad clásica para una condición A, es el cociente de todos los eventos que la satisfacen entre el número total de eventos que componen al espacio de eventos, es decir:

n  P (A)=    número total de casos favorables a A

                      ________________________________

            número de casos que componen al  espacio   muestral

EVENTO SIMPLE

n  Un evento simple es un evento o condición que se presenta como posible resultado de un experimento aleatorio.

n  Por ejemplo:

En el lanzamiento de volados, los eventos simples pueden ser resultados del experimento aleatorio son águila o sol

ESPACIO MUESTRAL

n  El espacio muestral es la numeración de todos los eventos simples que pueden ser el resultado de un experimento aleatorio.

n  En el caso de un lanzamiento de dados, el espacio muestral  tienen seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

DIAGRAMA DE ÁRBOL

n  Muchas veces la construcción del espacio muestral de un experimento aleatorio no es tarea sencilla, por lo que puedes recurrir a recursos de tipo gráfico, como los diagramas de árbol, para construir este espacio muestral.

EJEMPLOS ALEATORIOS

n  Los resultados posibles de un experimento aleatorio son todos los resultados que pueden suceder cuando este se efectúa.

n  A) en el experimento aleatorio de lanzar una moneda dos veces, los posibles resultados son:

n  *En el primero y segundo lanzamiento cae águila: (A, A)

n  * En el primer lanzamiento cae águila y en el segundo, sol: (A, S)

n  * En el primer lanzamiento cae sol y en el segundo, águila (S, A)

n  * En el primer y segundo lanzamiento cae sol: (S, S)

EJEMPLOS DETERMINISTAS

n  A) Si se dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 40º, es seguro que el tercer ángulo medirá 50º, porque en todo triángulo la suma de los ángulos interiores es de 180ºhttp://www.slideshare.net/anaidvelazquez/probabilidad-2-13346989

TEMA: TRANSFORMACIONES

Subtema: Movimientos en el plano

Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Existen muchas formas de transformar el plano, pero hay una que es motivo de nuestro interés, esta forma consiste en transformar el plano conservando las distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformados.

ROTACIÓN

Rotación significa girar alrededor de un centro

La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma. Cada punto sigue un círculo alrededor del centro.

SIMETRÍA AXIAL

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

SIMETRÍA CENTRAL

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Puedes girar objetos (punto a punto) con cualquier ángulo, alrededor de cualquier punto central

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN

La Traslación es un movimiento en el que los segmentos que unen un punto cualquiera y su transformado son siempre de la misma dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado por asignarle un sentido, se denomina vector de traslación.

El Giro de centro P y ángulo a es un movimiento en el que los segmentos que unen P con un punto cualquiera y con su transformado son de la misma longitud y forman un ángulo igual a a.

Traslaciones y Giros se conocen como movimientos directos por conservar la orientación de la figuras.
En la tabla se representa una traslación de vector AA´ y un giro de centro P y ángulo 90º.

http://www.slideshare.net/anaidvelazquez/movimientos-en-el-plano-13345792

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

Subtema: Ecuaciones


Una ecuación de primer grado es aquella en la cual el máximo esponente de las incógnitas es 1.

Dos ecuaciones de primer grado con dos  incógnitas son un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo:

x+y= 36
6x+8y=258

Los valores de x y Y son solución de ambas ecuaciones son la solución del sistema.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.

MÉTODO GRÁFICO

*Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

* Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

* Se resuelve la ecuación.

* El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

*Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado.

Pasos para resolver una ecuación por éste método:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

EJEMPLO:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600
   y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x
                ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita. 



Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

EJEMPLO:

Resolver

          
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:
3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
 24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
 − 10y = − 30

Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x  + 2(3) = 8
 x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Pasos para resolver una ecuación por el método de reducción:

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.



Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:
 

conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones:

http://www.slideshare.net/anaidvelazquez/ecuaciones-de-primer-grado-13346431