ANÁLISIS COGNITIVO DE LA INFORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES EN MATEMÁTICA

ANÁLISIS COGNITIVO DE LA INFORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES EN MATEMÁTICA

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas. Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.

Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, aprovechar sus ideas y los resultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y a responder adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes. La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático. Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas numéricos –y en general las matemáticas– como un todo estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma disciplina. Una meta importante en el estudio del álgebra es que el estudiante trabaje problemas y relaciones a través de generalizaciones y procedimientos en forma sistemática. La organización del álgebra alrededor de estructuras implica discutir cómo funcionan los sistemas: ¿qué propiedades de un sistema permiten que las fracciones se operen o combinen, o que las ecuaciones se resuelvan? El poder de las matemáticas radica en abstraer y generalizar las propiedades comunes de un sistema y aplicar o extender esas ideas a otros. Por ejemplo, el entendimiento de la estructura de los enteros, permite buscar y reconocer estructuras similares en otros sistemas. Las propiedades de las operaciones que se definen en la estructura permiten realizar una serie de transformaciones en las expresiones, que pueden ser de utilidad en el manejo y entendimiento de relaciones matemáticas. Una idea central en el proceso de transformar expresiones algebraicas es que el estudiante encuentre el sentido al utilizar diversas expresiones algebraicas. Dos aspectos resaltan en el entendimiento de cómo y cuando las representaciones simbólicas deben ser usadas para representar relaciones: a) generalizaciones y pruebas, que a simple vista parecen ser invisibles o estar escondidas; y b) habilidad para manipular y leer expresiones simbólicas como dos aspectos complementarios para resolver problemas algebraicos.

DIFICULTAD ALGEBRÁICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

DIFICULTAD ALGEBRÁICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La enseñanza de resolución de problemas en ciencias y matemáticas se realiza en general mediante estrategias de transferencia, se resuelve y explica un conjunto de problemas análogos a los ejemplos trabajados. Los profesores de secundaria con frecuencia asumen que las relaciones analógicas entre los problemas resueltos y los problemas propuestos son sencillos de comprender y establecer, y atribuyen el fracaso a la falta de dominio de los procedimientos matemáticos de resolución. La causa principal de las dificultades debe tener su origen en la construcción de un modelo de la situación o de un modelo del problema, adecuados.

 La resolución de problemas es una de las tareas mas creativas, exigentes e interesantes para la mente humana y es un área que ha atraído el interés de muchas personas. La comprensión de un problema parte de la comprensión de su enunciado, que demanda una gran cantidad de inferencias y la activación de un conocimiento previo especifico conceptual, procedimental, estratégico y esquemático. En el proceso de la resolución de problemas se pueden presentar varios obstáculos en los adolescentes, los cuales pueden ser: la comprensión descrita en el enunciado con sus entidades, sus relaciones y sus atributos a un nivel concreto, no abstracto; es decir la persona debe construir las representaciones del texto en términos del contenido léxico. El conocimiento general del mundo que el sujeto posee debe ser activado para subsumir la situación descrita en un esquema de funcionamiento conocido. El sujeto debe de pasar de un modelo mental de la situación descrita en términos concretos a una representación abstracta del modelo del programa que involucra magnitudes y fenómenos; cantidades y relaciones matemáticas; teoremas, leyes y axiomas.

El manejo de las herramientas necesarias para llegar al resultado, asociado con un conocimiento procedimental de los esquemas aritméticos, algebraicos, etc.. Las dificultades que los estudiantes tienen para aprender a resolver problemas matemáticos con enunciados han sido asociadas con diferentes factores. Se ha propuesto que la resolución de un problema requiere que los sujetos asocien las frases del enunciado con esquemas preexistentes que sirven de vehículos para la construcción de representaciones matemáticas adecuadas y de guías para la acción resolutiva; estos esquemas proporcionan las bases de la comprensión y orientan el plan de acción, el sujeto debe saber transferir esos métodos y estrategias desde los ejemplos a los problemas. Se han estudiado algunas variables que pueden facilitar o dificultar la evidencia de semejanzas en las relaciones entre elementos de dos problemas a estos niveles. De acuerdo con algunos autores los problemas con enunciado en ciencias y matemáticas pueden caracterizarse por dos factores: su contexto, historia o superficie y su estructura. El contexto alude a la temática concreta o ámbito del mundo a la que pertenecen los objetos, propiedades, estados y eventos que describen en el enunciado, pertenecientes al conocimiento general de las personas y por ello deben ser fácilmente reconocidos. La estructura se refiere a las relaciones entre las variables en el espacio del problema dadas las reglas, normas, principios o leyes y alude  a las representaciones abstractas del modelo del problema. En nuestro caso hace referencia a las relaciones algebraicas que se dan entre las variables asociadas a las entidades expuestas en el enunciado. Desde el punto de vista matemático si dos problemas tienen la misma estructura, las relaciones abstractas entre sus variables son idénticas y por tanto ambos problemas se resuelven a través del mismo conjunto de algoritmos, operaciones etc…

 En la enseñanza y aprendizaje por transferencia es obvio que los problemas no relacionados dificultan la extracción de los factores comunes importantes de ambos problemas y que los problemas equivalentes no favorecen los procesos de generalización necesarios. Es decir, el éxito se alcanza cuando los sujetos aprenden a construir isomorfismos al nivel de las representaciones de ambos problemas  y además, conocen los modos matemáticos de proceder para llegar el resultado concreto. Saber calcular no implica saber resolver problemas, pero es evidente que no se puede tener éxito en la resolución si no se dominan también los procedimientos de cálculo y resolución, asociados con el álgebra en este caso.

Entre los conocimientos que exige saber transferir en las aulas se encuentran muchas habilidades matemáticas que es preciso saber utilizar en contextos científicos, esas habilidades se refieren al conocimiento acerca de los sistemas de ecuaciones lineales. Las fuentes de obstáculos se concentran en la construcción de los vínculos al nivel del modelo de la situación y en el proceso de traducción del lenguaje natural al lenguaje del álgebra.

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

PENSAMIENTO ALGEBRÁICO

Los profesores no encuentran el modo de lograr que esas destrezas sean adquiridas por la clase. las enseñanzas que despliegan y los aprendizajes que proponen quedan muchas veces atrapados en esa búsqueda de destreza, y el sentido de lo que se aprende queda oculto para la mayoría de los alumnos. El tratamiento  de lo general, la exploración, formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos via un tratamiento algebraico, la puesta en juego de una coordinación entre diferentes registros de representación semiótica, son rasgos esenciales  de la practica algebraica que la colocan en el corazón de la actividad matemática. los maestros deben hallar la manera de apoyar el pensamiento algebraico y crear una cultura en las clases, en la que se valore "el que los alumnos modelen, exploren, comenten, predigan, supongan y pongan a prueba sus ideas, además de practicar sus habilidades de cálculo". Sugieren que los maestros introduzcan el álgebra en el material existente, usando las actividades aritméticas actuales y los problemas redactados, transformándolos de problemas con una sola respuesta numérica a oportunidades de descubrimiento de patrones y realización de conjeturas o generalizaciones sobre hechos y relaciones matemáticas y su justificación. Esto puede ser sencillo, como sería el fomentar en los alumnos el comentario sobre por qué consideran que un enunciado o solución matemática es correcta. Los autores sugieren que los maestros utilicen las siguientes frases como mecanismos para ampliar el razonamiento de los alumnos:

• Explícame cómo lo pensaste.
• ¿Lo resolviste de manera diferente?
• ¿Cómo sabes que es cierto?
• ¿Siempre funciona así?

Los alumnos deberán comprender que la igualdad es una relación que expresa la idea de que dos expresiones matemáticas representan el mismo valor. Es importante que comprendan esta idea por dos motivos: en primer lugar la idea es necesaria para entender las relaciones que expresan las frases numéricas. Un segundo motivo para que sea importante la comprensión de las igualdades como relaciones, es que la carencia de este entendimiento es uno de los grandes obstáculos para los alumnos cuando pasan de la aritmética al álgebra. A continuación damos algunas formas de dar bases para el aprendizaje del álgebra. Deben plantearse preguntas que den idea del entendimiento de los alumnos sobre conceptos matemáticos importantes. Por ejemplo, sus respuestas a la frase numérica 9 + 6 = ___ + 8 nos dicen mucho sobre cómo entienden el signo de igualdad. Deben explorarse los motivos de sus respuestas, preguntándoles por qué contestaron como lo hicieron. Dar a los alumnos oportunidades de comentar y resolver conceptos diferentes de ideas matemáticas. Por ejemplo, conceptos diferentes del signo de igualdad que surgen de las soluciones de los alumnos a la frase numérica abierta 9 + 6 = ___ + 8 que pueden ser punto de partida para comentarios productivos. Dar a los alumnos ecuaciones que les ayuden a comprender que el signo de igualdad representa una relación entre números, no una indicación de realizar la operación. Los ejemplos incluirían ___ = 8 + 9, 8 + 6 = 6 +9 + 6 = ___ + 8. Se pueden variar los formatos de las frases e incluir otras en la que la respuesta no llega directamente después del signo de igualdad. Dar a los alumnos frases falsas y ciertas que pongan a prueba sus conceptos erróneos sobre el signo de igualdad (ej. 8 = 5 + 3, 9 = 9, 7 – 4 = 7 – 4). Dar a los alumnos problemas que les fomenten las generalizaciones sobre propiedades numéricas fundamentales. Cuando den una respuesta a uno de los problemas, debe preguntárseles cómo saben que su respuesta es correcta. A menudo eso provocará que enuncien una generalización como "un número restado de sí mismo produce cero". Cuando enuncien una generalización como esta, debe preguntarse por ejemplo "¿sucede igual con cualquier número?" Debe hacerse que los alumnos justifiquen sus generalizaciones o las de sus compañeros. La justificación de las generalizaciones exige más que dar muchos ejemplos (ej. 8 x 5 = 5 x 8). Si se espera que los alumnos justifiquen sus afirmaciones se les ayuda a adquirir destrezas en la presentación de argumentos y pruebas matemáticas. Utilice las preguntas "¿sucede igual con cualquier número?" y "¿cómo sabes que sucede igual con todos los números?" repetidas veces para fomentar el que reconozcan que en las matemáticas es necesarios justificar las afirmaciones.

LOS DECIMALES

El ser humano aún tiene un largo camino para establecer el dominio de sus propias facultades. No podemos caer en el peligroso facilismo de subordinarnos a la máquina. La evolución acelerada de la ciencia y técnica nos obliga a tratar con especial cuidado la salud física y mental del ser humano, sobre todo en lo concerniente al desarrollo evolutivo de su capacidad intelectual que está en nuestras manos.  Al ser preciso informamos sobre el ejercicio de la inteligencia, el desarrollo del pensamiento y la elaboración de conceptos, fue necesario conocer el resultado logrado por otros investigadores en tareas similares. Lo que permitió que analizáramos innumerables publicaciones y obtener de ellas valiosos aportes. Es así que fue sorprendente conciliar inquietudes con un gran profesional JEAN PIAGET, la psicología del desarrollo intelectual propuesta por este Psicólogo es el soporte medular de esta investigación. La explosión demográfica plantea un reto muy especial a la educación, la población escolar crece proporcionalmente más rápido que las posibilidades del sistema para preparar educadores, así la atención al educando se hace cada vez más compleja. Sin embargo, no se han elaborado métodos adecuados de control educacional capaces de superar con éxito las múltiples dificultades que debe atender el educador contemporáneo. Los educadores tenemos un problema común, el desarrollo de las aptitudes y actitudes para lograr un hombre sano y mentalmente equilibrado dentro de un entorno poco favorable. Esta circunstancia al interior de la problemática metodológica y de una didáctica que optimice la productividad educativa, propició la búsqueda de detección de las deficiencias para su debida atención y solución. Las metodologías tradicionales tienden a desaparecer, porque fomentan en demasía la mecanización y el memorismo, para dar paso a las capacidades de búsqueda, selección, cotejo y producción de la información funcional. Por eso debemos tomar en cuenta los siguientes puntos:  Interacción con el mundo físico, hacer ver a los alumnos cómo la utilización de las unidades de tiempo exactas nos posibilitan una mejor comprensión de hechos cotidianos de la realidad. Aprender a aprender es recordar a los alumnos que ya conocían de cursos anteriores algunos conceptos sobre los decimales los números decimales, y que los avances que van a realizar en esta unidad se sustentan en los conocimientos ya adquiridos. Competencia cultural y artística consiste en llamar la atención sobre la importancia de realizar de manera correcta y limpia las representaciones gráficas de las unidades decimales.
Tratamiento de la información es  mostrar cómo cada unidad decimal podemos expresarla de diferentes formas (gráfica, número decimal y fracción) y que todas ellas representan lo mismo; además de los términos matemáticos, en el lenguaje matemático existen otros signos que nos proporcionan información. Indicar que los signos > y < pertenecen a esta categoría. La Competencia lingüística es dejar clara la importancia de utilizar con corrección los términos del lenguaje matemático asociados a los números decimales a la hora de trabajar con ellos. Señalar la importancia de conocer bien las expresiones decimales de las cantidades de dinero y de llevar a cabo siempre un consumo responsable y adecuado a nuestras necesidades. A partir de la actividad propuesta en Eres capaz de ... dialogar con los alumnos sobre la importancia de saber comparar para elegir la opción que más conveniente nos resulte. Mostrar cómo las Matemáticas nos ayudan a actuar de forma autónoma y animarles a utilizarlas con iniciativa en distintas situaciones reales. Insistir en la importancia de realizar un detallado análisis de los problemas antes de ponerse a calcular. Animarles a enfrentarse a los problemas con confianza e iniciativa y a utilizar las estrategias matemáticas que conocen. Valorar los logros que vayan consiguiendo. Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585 acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental, el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales.En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier(1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal: el punto decimal se consagró en países anglosajones, pero en muchos otros países europeos como por ejemplo España, se continúa utilizando la coma decimal.

EJEMPLO:

FRACCIONES

FRACCIONES

Una fracción  es un número escrito en la forma  a/b , de tal modo que b no sea igual a  cero. Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b  se llama número racional.  El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a.   El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b.  El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo.

PARTES DE UNA FRACCION

 

TIPOS DE FRACCIONES

Fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, por lo tanto, son menores que la unidad. En la recta numérica se ubican entre el 0 y el 1.

 

Fracciones aparentes: son aquellas en las que el numerador es igual al denominador, por lo tanto, son iguales a la unidad.

 

Fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, son mayores que la unidad.

 

Fracciones decimales: son aquellas en las que el denominador es 10, 100, 1.000, etc., o sea la unidad seguida de ceros.

 

FRACCIONES

En la adquisición de los conocimientos el alumno debe siempre apoyarse en las acciones directamente experimentables a fin de construir la nueva estructura de conocimiento a aprender. Esta nueva estructura tomará todo su significado, por un lado cuando el alumno pueda anticipar un resultado costoso a obtener por los antiguos métodos , y por otro lado, cuando la utilice para resolver otros problemas . El trabajo matemático consiste en  elaborar sistemas, mas o menos simbolizados y formalizados, que permiten obtener resultados que anticipan de modo mas económico, la obtención del mismo resultado por intermedio de acciones directas.

Debido a la diversidad de las representaciones de fracciones llegamos al dilema de si es necesario que el alumno ponga en practica todas ellas y concluimos que si, ya que en el medio se enfrentara con diversos problemas que podrán ser  resueltos por un método pero por otro no.

Además, el conocer y aplicar varias representaciones permitirá al alumno desarrollar procesos mentales, como lo son la comprensión, análisis, síntesis y planteamiento de inferencias, procesos que son indispensables en el razonamiento matemático. Por otro lado, el futuro docente debe ser conocedor en la medida de lo posible, del “saber sabio”, pues dominar mas el contenido del que se va a enseñar y le permite hacer conexiones y transferencias entre los diversos saberes matemáticos.

Para entender algún concepto matemático o cualquier otro, primeramente  el alumno debe hacer representaciones del mismo. No obstante, las que se construyen en el sistema escolarizado, en muchas oportunidades son el producto de las experiencias previas del alumno o son resultado de la combinación de las experiencias vividas en el aula.

Cuando llegamos a este tipo de temas nos planteamos diversas preguntas, como lo son: ¿Cómo el docente va a lograr esto?, ¿Qué estrategias debe implementar?, ¿Qué contenidos le permiten crear la plataforma para dar respuesta a esa misión?, ¿Qué recursos son necesarios para lograr esos objetivos?, ¿Cómo debe el docente capacitarse ante las nuevas tecnologías?

Nuestros adolescentes no entienden porque aprender matemáticas y consideran que en su desempeño profesional las matemática no juegan un papel importante; por tal motivo cuando se diseñan y se implementan los programas de estudios se da mas valor formativo de la matemática que a su valor cognitivo.

Se ha observado que la secuencia con respecto al concepto de fracción son las siguientes:

1.- presentación de la definición bajo la interpretación parte todo con representaciones graficas con figuras geométricas, tales como el circulo y el rectángulo. El numero mixto en la mayoría de los casos no es tratado. La fracción impropia al ser trabajada bajo la concepción parte-todo, no se le encuentra significado al hecho de que se van a tomar mas partes de la que se ha dividido la unidad.