TRI{ANGULOS 3°

 

TRIÁNGULOS

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO

Un triángulo es un polígono de tres lados. En el se distinguen los siguientes elementos:

Vértices: A, B, C

Lados: a, b, c. la letra minúscula designa el lado opuesto del vértice con la letra mayúscula correspondiente.

Ángulos interiores: α, β, γ.                   Ángulos exteriores: A, B, C.                                              

Por sus lados, los triángulos se clasifican como sigue:

Equilátero: tiene sus tres lados iguales.

Isósceles: cuenta con dos lados iguales.

Escaleno: posee tres lados diferentes.

  

         

                

                                              

  Equilátero                        Isósceles                         Escaleno              

Por la amplitud de sus lados, los triángulos se clasifican así:

Rectángulo: un ángulo es recto

Acutángulo: los tres ángulos interiores son agudos

Obtusángulo: un ángulo interior es obtuso

      

                         

                    Rectángulo                    Acutángulo                Obtusángulo

Un triángulo es equiángulo si sus tres ángulos son iguales.

Un triángulo es equiángulo si y sólo es equilátero.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

v  En todos los triángulos, un lado cualesquiera es menor que la suma de los otros dos lados, de lo contrario, los lados menores no podrían unirse para formar un vértice.

v  En cualquier triángulo, la suma de los ángulos interiores es de 180º

                       

1.- Si en el triángulo ABC se traza una línea paralela al lado AB que pasa por el vértice C; se forman los ángulos β’ y α’

2.- El ángulo α es igual que el ángulo α’ porque son alternos internos entre dos paralelas y una transversal

3.- El ángulo β es igual que el ángulo β’, pues también son alternos internos.

4.- Los ángulos α’, β’ y γ suman 180º porque estan sobre una línea recta; por las igualdades de los dos incisos anteriores, α, β y γ suman 180º.

ü  Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

1.-  Se localiza el punto medio del lado desigual AB y se denomina R. Se traza el segmento que une el punto medio R con  el vérticde opuesto.

2.- El triángulo isósceles queda dividido en dos triángulos que son congruentes porque los tres lados correspondientes son congruenetes. El lado AC es igual que BC por ser lados iguales de un triángulo isósceles; el lado CR es común a los dos triángulos y el lado AR es igual que BR porque R es el punto medio del segmento AB.

3.- Por el crieterio de congruencia LLL, los triángulos ARC y BRC son congruentes y, por tanto, sus tres ángulos son iguales. Entonces, en particular los ángulos α y β son iguales.

                                   

http://www.slideshare.net/anaidvelazquez/triangulos-3-grado

IV.-El método axiomático en la ciencia

IV.-El método axiomático en la ciencia

En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interes limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, mas que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superflojo, una suerte de juego  intelectual apto para satisfacer a espiritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor logico, pero al margen del trabajo cientifico verdaderamente productivo.

La historia de la ciencia, sin embargo, muestra de manera superabundante que a menudo las investigaciones inicialmente mas desinteresadas son las que se revelan finalmente, como las mas fecundadas.

Para la reflexion, las ventajas del metodo axiomatico son manifiestas. Es, en primer lugar, un preciso instrumento de abstracciones y analisis. Ante el tratamiento axiomatico, las nociones fundamentales de una teoria quedan a menudo aun confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas: nada nos garantiza entonces que estos diversos elementos seguiran siendo simpre compatibles, nada nos precave contra el peligro de resbalar inconscientemente, en nuestros razonamientos, del uno al otro.

Cada teoria saca provecho de las que se le conocen actualmente como emparentadas. Se transfiere aquí, en donde nada intuitivo las sugeria, los resultados adquieridos en otra parte. El rigor del metodo de exposición conduce, asi, a fin de cuentas, a su fecundidad para el descubrimiento.

La axiomatizacion de las matematicas

La teoria de los grupos, por ejemplo, de la que se ha podido decir que es la matematica despojada de su substancia y reducida a su forma, nacio entes que ella y se desarrollo, en primer lugar, de manera independiente; mas el espiritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomatica, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos ordenes de investigaciones se encuentran asociados de modo muy intimo.

Se opya en las tendncias mismas que caracterizan al espiritu matematico europeo y que no han hecho sino exasperarse desde hace un siglo, por eso el metodo axiomatico no puede disociarse bien.

Todas la teorias matematicas, desde la aritmetica y la teoria de los conjuntos hasta el calculo de probabilidades, han sido axiomatizadas hoy, y a menudo de multiples maneras.

Las cosas eran claras en la fase empirica e inductiva: dejandonos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades. El analisis axiomatico, destaca las estructuras de las teorias particulares ya constituidas, y revela asi las analogias formales entre teorias a menudo muy alejadas por su contenido y, por esta razon, permanece independiente.

Las teorias matematicas estan puestas en correspondencia con teorias extramatematicas, y particularmente con teorias logicas: el calculo de probabilidades con ciertas logicas plurivalentes, la topologia con ciertos calculos de logica modal.

Las similitud de funciones conduce tambien a crear, para una teoria, nociones abstractas que nada podian sugerir mientras se les tenga sujetas a su interpretación primitiva, de la cual nacen nuevos seres matematicos.

No solamente las teorias particulares son las que se aprovechan del tratamiento axiomatico. Las fisonomia del conjunto de las matematicas se encuentra transformada. En razon de parentescos inospechados que de pronto se revelan ahí, el universo matematico se distribuye.

El orden tradicional, que repartia las disciplinas matematicas según los objetos estudiados (aritmetica, algebra, analisis infinitesimal, geometria), parecen hoy tan superficiales como las antiguas clasificaciones zoologicas, que agrupan a los animales según sus semjanzas exteriores (acuaticos, terrestres, aereos) en lugar de fundarse sobre la similitud de las estructuras.

Por ejemplo se coordinan teorias que tratan de objetos muy diferentes, pero dotados de propiedades formales analogas: la teoria de los numeros primos esta proxima a la de las curvas algebraicas, la geometria euclidiana a las ecuaciones integrales simetricas.

De la cual se funda sobre la jerarquia de las estructuras, yendo de las mas simples y de las mas generales a las mas complejas y a las mas especiales. En primer lugar, algunas estructuras maestras de un carácter mas amplio: estructuras algebraicas, estructuras de orden, estructuras topologicas, etc.

La axiomatizacion en las otras ciencias

El tratamiento axiomatico no fue solamente aplicado a las matematicas, se desbordo por ambos lados. No debe sorprendernos de que un metodo que se propone suplantar la intuición por la logica haya encontrado su terreno de eleccion en la logica misma.

Esta ciencia hace de ella hoy un empleo regular y sistematico, su uso disminuye a medida que se desciende la escala de las ciencias, que se pasa de la mecanica a las otras partes de la fisica, y de ahí a las otras cencias de la naturaleza.

Una axiomatica permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoria deductiva previa, la cual no tiene valor cientifico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente.

La fisica inductiva en los siglos XVII y XVIII, abrio en el siglo XIX la era de las grandes teorias deductivas, y ha llegado hoy al punto en donde el tratamiento axiomatico le resulta aplicable demasiado ampliamente.

Ciertos rasgos de las teorias nuevas las cuales, se apoyan en todo saber adquirido anteriormente, aun cuando lo corrijan las destinaban a ello, y no solamente el hecho de que nacieron en la estacion misma en que florecia la axiomatica.

Una fisica tal es necesariamente estructural, la cual pide expresamente la subordinación de los terminos a las relaciones, tan caracteristicos del ordenamiento axiomatico. Si no se ha extendido mucho el uso de exponer axiomáticamente el contenido de la fisica clasica, no es que la cosa presente dificultades especiales, al menos para las partes ya sistematizadas.

La axiomatica es el perfeccionamiento de la teoria deductiva, lo cual quiere decir tambien que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la via de la axiomatica.

La masa, la fuerza, el potencial, la resistencia, son entidades abstractas; sugeridas, como su nombre lo recuerda, por imágenes, pero cuyo sentido propiamente cientifico es fijado unicamente por las relaciones que sostienen entre ellas y con otras de igual naturaleza. Estas nociones intuitivas han servido, en el origen, para establecer las leyes, pero una vez construida la red de las leyes, la perspectiva se ha invertido: es el conjunto de principios de la mecanica clasica, de la termo-dinamica, de la oprica, que da de las nociones fundamentales de cada una de las teorias, una “definición disfrzada”.

Limites del método axiomático

Las ventajas de este método disimulan los limites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones.

Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición.

La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su ves ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza.

Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir.

Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados.

El beneficio del método axiomatico no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulacion: por mas perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, asi fuesen, cada vez, mas minimas y espaciadas.

LA AXIOMÁTICA

LA AXIOMÁTICA

Los axiomas  también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa. Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, mas justamente una postulantica. El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual.  Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concesible, el axioma seria una proposición analítica que constituiría un absurdo negar.  En el punto de partida de una teoría deductiva, concebida para satisfacer a las exigencias lógicas , deberán figurar no únicamente los tres “principios” tradicionales: definiciones, axiomas y postulados, sino proposiciones no demostradas que se llamaran “indiferentemente axiomas o postulados y términos no definidos: y todo el trabajo ulterior consistirá en construir a partir de ahí proposiciones nuevas, justificadas por medio de demostraciones y de términos nuevos, fijados por medio de definiciones. La definición y la demostración dependen entonces, propiamente  hablando, de la retórica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. Sin embargo, en la otra hipótesis, no tienen más que una función lógica: reunir todos los términos y todas las proposiciones en un conjunto sistemático. Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un Circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la acompaña. En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, más que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superflojo, una suerte de juego  intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo. Una axiomática permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoría deductiva previa, la cual no tiene valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente. Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir. Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados. La axiomática es el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual quiere decir también que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la vía de la axiomática. Las ventajas de este método disimulan los límites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones. Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición. La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su ves ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza. Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir. Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados. El beneficio del método axiomático no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulación: por mas perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, asi fuesen, cada vez, mas mínimas y espaciadas.

LAS PRIMERAS AXIOMÁTICAS

LAS PRIMERAS AXIOMÁTICAS

La historia entera de la geometría atestigua una tendencia constante a restringir cada vez más su dominio y acrecentar otro tanto las exigencias lógicas. Pero en el siglo XIX con la aritmetización del análisis el movimiento acelero, separaciones sorprendentes se manifestaron así entre las sugestiones falaces de la intuición y las enseñanzas indubitables de la demostración. Dos ejemplos memorables: no es verdad que a una curva continua se pueda trazar siempre una tangente (weierstrass), no es falso que una curva, línea sin anchura, pueda cubrir toda la superficie de un cuadrado (peano).

Es pasch quien en 1882 intentó la primera axiomatización de la geometría.  Si su solución presenta muchas imperfecciones, debidas en parte al hecho de que el autor conserva la actitud del empirismo clásico, al menos planteó claramente el problema: “para que la geometría llegue a ser verdaderamente una  ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométrios, como  debe serlo de las figuras; solo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos.

 Las reglas establecidas por pasch comportan una distinción entre los términos o proposiciones propias al sistema axiomatizado y los que son lógicamente anteriores. Las demostraciones no hacen llamado sólo a las proposiciones del sistema para integrar estas en demostraciones, es necesario utilizar reglas lógicas de encadenamiento. En relación a la ciencia así axiomatizada, la lógica se llama anterior. Además de la lógica, un sistema geométrico presupone ordinariamente la aritmética. De una manera general, se llamará anteriores a un sistema axiomático todos los conocimientos a los que ese sistema hace, así llamado. Se notara si una axiomatica se presenta como un sistema puramente formal, los conocimientos de que tiene necesidad para constituirse son, los mismos, nociones entendidas en la plenitud de su sentido y tesis tomadas en su verdad material.

Un ejemplo de axiomática es la que peano construyo para la teoría de los números naturales: en primer lugar porque su brevedad permitirá exponerla toda entera, luego porque se encuentra en ella una ilustración simple y notable del carácter de equivocidad.

Pues no somporta sino tres términos primeros: cero, el numero, el sucesor de- y cinco proposiciones primeras:

1.- cero es un numero

2.- el sucesor de un numero es un numero

3.- varios números cualesquiera no pueden tener el mismo sucesor.

4.- cero no es el sucesor de ningún numero

5.- si una propiedad pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números

Como segundo ejemplo es la axiomática que hilbert dio a la geometría euclidiana

1.      No se contento con despejar los axiomas, de los cuales algunos habían pertenecido hasta entonces implícitos y enumerarlos: los repartió según las nociones fundamentales que utilizan en 5 grupos y se esforzó para cada uno de  estos grupos o para sus combinaciones en precisar y delimitar el dominio de los teoremas que determinan. Los del primer grupo establecen un enlace entre los conceptos de punto, de recta y de plano: son los axiomas característicos de la geometría proyectiva. Los del segundo grupo, los axiomas del orden, fijan el sentido de la palabra entre: son los axiomas topológicos. El tercer grupo contiene los 6 axiomas de la congruencia o igualdad geométrica. El cuarto grupo no comporta sino solo axioma, el de las paralelas. El ultimo grupo se refiere a la continuidad y cuenta con dos axiomas a los que pertenece el llamado de arquimides, el cual viene a enunciar que añadiendo sucesivamente un segmento a si mismo sobre una recta a partir del punto A se podrá siempre superar un punto B cualesquiera de esa recta. Además holbert estableció la no- contradicción de su sistema de axiomas y sobre la independencia mutua de sus elementos.

Historia de las matemáticas

La historia de las matemáticas nos revela la estrecha relación que existe con las demás ciencias ya que muchas veces consideramos que no es importante su estudio. Cuanto mas nos acercamos a la época actual, más clara nos aparece la íntima conexión entre ell desarrollo de las matemáticas y el de otras disciplinas sociales.

Uno de los pasos históricos fue la coordinación entre diferentes cantidades concretas y una cantidad representativa. Así, ciertas cantidades representativas: 5 dedos de un mano, 10 dedos, 20 dedos de manos y pies, 12 falanges han desarrollado un papel importante en la formación de las operaciones aritméticas y en la elección de una base para el sistema numérico. Los aztecas contaban en base 5, los egipcios en base 10, los celtas y los grusinios en base 20; se encuentran restos de ello en la matemática mesopotámica e incluso todavía hoy.

Centenas como las unidades

Todos estos progresos en el campo numérico suponían importantes conocimientos en el hombre primitivo, así como una considerable capacidad de abstracción: correspondencia unívoca entre números abstractos y la cantidad de cosas concretas, construcción aditiva de la sucesión de números, utilización de un número como base de un sistema numérico.

La revolución agrícola

En el sexto milenio a.n.e. comenzó, en determinadas zonas de la tierra, un cambio decisivo en la relación del hombre con la naturaleza. Apenas si se ha valorado en toda su importancia este revolucionario proceso conocido como revolución agrícola o revolución neolítica, que condujo a la disolución de la sociedad primitiva y al nacimiento de una sociedad de clases basada en la producción agraria. Los conocimientos matemáticos y astronómicos existentes incorporaron entonces una proyección social, se iniciaba así el proceso de formación de las distintas ciencias.

La matemática egipcia

Los conocimientos que hoy poseemos de la matemática egipcia provienen de cinco papiros que abordan cuestiones matemáticas. El paso de la sociedad primitiva a la sociedad de clases tuvo lugar en el valle del nilo a comienzos del tercer milenio a.n.e concluyéndose aproximadamente hacia el año 2800. los conceptos y los nombres empleados para indicarlos hacían referencia todavía de manera clara a su origen a partir de lo concreto; por ejemplo, el símbolo (jeroglífico) para romperse es sinónimo de substracción. La variable, es decir, la cantidad buscada en las ecuaciones, es representada con los signos para montón, cantidad. El sistema numérico era decimal, pero no posicional: cada una de las potencias de diez, hasta 10⁶  poseía un símbolo propio; los números se formaban colocando sucesivamente los símbolos de las potencias respectivas.

Historia y filosofía de las matemáticas

Historia y filosofía de las matemáticas

Las matemáticas son elestudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.

Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.

Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.

Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Uno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado).

LOS GRIEGOS

 

Pese a que las Matemáticas ya eran avanzadas en tiempos anteriores (babilonios o egipcios), hasta los griegos, la preocupación por esta ciencia era meramente práctica: medir, construir, contar,... Los griegos, sin embargo, se preocupan por reflexionar sobre la naturaleza de los números, sobre la naturaleza de los "objetos" matemáticos (geometría). Convirtieron las Matemáticas en una ciencia racional y estructurada, con propiedades que se demuestran.
En realidad, la contribución de los griegos a las matemáticas  constituye el mayor avance de esta ciencia en el periodo comprendido entre la prehistoria y el Renacimiento.
La Escuela Jónica fundada por Tales de Mileto (en torno al 600 a.C.), fue la primera en comenzar el estudio científico de la Geometría. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico.

Más tarde fue la escuela pitagórica  fundada por Pitágoras  (en torno al 550 a.C.). Se le atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del conocido  Teorema de Pitágoras : "En un triángulo rectángulo, la hipotenusa  al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

¿QUE ES UN VIDEO?

El vídeo es un medio didáctico que por sus posibilidades expresivas puede alcanzar un alto grado de expresividad, lo que hace de él una herramienta autónoma de aprendizaje con la que el alumno puede dominar un determinado contenido que le puede servir como: complemento curricular, autoenseñanza, enseñanza ocupacional, enseñanza a distancia, divulgación. El videograma educativo debe estar realizado con criterios puramente audiovisuales, donde se potenciarán las posibilidades expresivas del medio, encaminados a comunicar las ideas a través de emociones. También habrá que considerar si el tema abordado se adapta a las posibilidades del medio y si el género narrativo al que se ha hecho la adaptación es el adecuado. La función básica del texto, escrito o hablado, es completar la imagen y reducir los grados de polisemia de ésta. La duración del texto hablado, con respecto a la imagen, debe estar equilibrada.  

El video es un medio tecnológico que por sus posibilidades expresivas puede alcanzar un alto grado de motivación, lo que hace de él una herramienta de aprendizaje valiosa para el alumno, donde su empleo puede ser enfocado desde distintos contextos como complemento curricular, aprendizaje autónomo del estudiante. Podemos decir que los videos didácticos son los que se proponen potenciar la enseñanza-aprendizaje con miras al incremento de conocimientos y al desarrollo de habilidades y destrezas en diversos aspectos de la promoción humana. Son producidos, sobre todo, como apoyo o complemento de la educación escolarizada, así como en los planes de desarrollo y la transferencia de tecnologías. Un video didáctico se puede utilizar el video educativo para el aprendizaje de los niños y niñas, como una herramienta de trabajo lúdica en el aula, transmitir nuevos conocimientos a través del uso de la tecnología al mismo tiempo logrando una efectividad y refuerzo por medio de este. El vídeo puede convertirse en un medio de expresión y aprendizaje en manos de los estudiantes. Estos pueden confeccionar sus propios programas facilitando al profesor un complemento docente de primera mano.  Muchas veces cuando utilizamos este recurso caemos en este tipo de errores: No planificar el uso del video en relación a las necesidades de la asignatura y la realidad curso. Utilizar el video y no interactuar otorgándole todo el protagonismo al formato tecnológico y restando participación al profesor. Utilizar un video frente al curso y aprovechar ese tiempo en otros quehaceres administrativos. El vídeo es un medio didáctico que por sus posibilidades expresivas puede alcanzar un alto grado de expresividad, lo que hace de él una herramienta autónoma de aprendizaje con la que el alumno puede dominar un determinado contenido que le puede servir como: Complemento curricular, autoenseñanza, enseñanza ocupacional, enseñanza a distancia, divulgación. El vídeo puede convertirse en un medio de expresión y aprendizaje en manos de los estudiantes. Estos pueden confeccionar sus propios programas facilitando al profesor un complemento docente de primera mano.

 El video didáctico de poseer diversas características, tales como: Ser motivado para el alumno, contener cierta potencialidad expresiva, adecuarse a las características del niño o joven que lo vea, capacidad para trasmitir un contenido educativo, fortalecer los contenidos previos y favorecer los aprendizajes significativos, tener una clara intencionalidad instructiva. podemos encontrarnos con algunas ventajas del video educativo como lo son la motivación ya que a los alumnos les parece interesante el cambiar del método tradicional de exposición del maestro por el de explicarle a través de imágenes el contenido que se quiere aprender, ya que se ha comprobado que la transmisión de palabra-imagen-sonido capta mejor la atención del alumno y a su vez retiene mejor la información.

 Además ayuda al desarrollo de la imaginación del alumno y la intuición al querer elaborar algo parecido y aplicarlo en su vida cotidiana.  Pero como es común también presenta algunos aspectos negativos ya que si no sabemos elegir correctamente el material confundiremos a los alumnos y este tendrá una información distorsionada de la realidad. Este un buen recurso se sabemos utilizarlo correctamente, sin el objetivo de emplearlo como un relleno por la falta de planeación o como un sustituto del maestro.

RECTAS Y PRODUCTOS NOTABLES

CÍRCULO

UNA CIRCUNFERENCIA ESTA CONSTITUIDA POR TODOS LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE UN PUNTO FIJO LLAMADO CENTRO; LA DISTANCIA A QUE SE ENCUENTRAN TODOS ELLOS DEL CENTRO SE LLAMA  RADIO.

UN CÍRCULO ES LA REGIÓN LIMITADA POR UNA CIRCUNFERENCIA.

UNA RECTA QUE CORTA A UNA CIRCUENFERENCIA EN DOS PUNTOS SE DENOMINA SECANTE.

EL SEGMENTO DETERMINADO POR DOS PUNTOS DE LA CIRCUENFERENCIA SE DESIGNA CUERDA.

UNA CUERDA QUE SÓLO TOCA EN UN PUNTO A LA CIRCUNFERENCIA SE LA LLAMA TANGENTE .

UNA CUERDA QUE PASA POR EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA SE DENOMINA DIÁMETRO                                                         

ÁNGULOS EN EL CÍRCULO

ANGULO CENTRAL.- SU VÉRTICE ES EL CENTRO DEL CÍRCULO

ÁNGULO INSCRITO.- SU VÉRTICE ES UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS LADOS SON SECANTES DEL CÍRCULO.Ç

ANGULO SEMI-INSCRITO.- ESTÁ FORMADO POR UNA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA Y UNA SECANTE AL CÍRCULO. EL VÉRTICE ES UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA.

¿QUÉ ES DIDÁCTICA?

El término Didáctica proviene del verbo "didaskein, que significa enseñar, instruir, explicar. Es una disciplina pedagógica centrada en el estudio de los procesos de enseñanza aprendizaje, que pretende la formación y el desarrollo instructivo - formativo de los estudiantes. Busca la reflexión y el análisis del proceso de enseñanza aprendizaje y de la docencia. En conjunto con la pedagogía busca la explicación y la mejora permanente de la educación y de los hechos educativos. Ambas pretenden analizar y conocer mejor la realidad educativa en la que se centra como disciplina, ésta trata de intervenir sobre una realidad que se estudia. Los componentes que actúan en el campo didáctico son: El profesor, el alumno, el contexto del aprendizaje y el curriculum que es un sistema de procesos de enseñanza aprendizaje y tiene cuatro elementos que lo constituyen: Objetivos, contenidos, metodología y evaluación. La didáctica se puede entender como pura técnica o ciencia aplicada y como teoría o ciencia básica de la instrucción, educación o formación. A cerca del qué, el para qué y el como enseñar.

 La finalidad de la educación es la formación integral del alumno, que se propagara mediante el desarrollo de sus aptitudes. Ello debe de implicar el desenvolvimiento de su personalidad, tanto desde un plano individual como en cuanto a su integración en la sociedad. Dos son los fines de la educación: formativo y utilitario instructivo. Una situación didáctica es en primer lugar una puesta en escena interesante y rica. Toda situación compleja es una combinación de relaciones elementales, y no puede soslayar el análisis de las tareas cognitivas que estas relaciones permitan generar; pero la organización de una situación didáctica en un proyecto colectivo de investigación para la clase supone la consideración a la vez de las funciones epistemológicas de un concepto, de la significación social de los dominios de experiencia a los cuales hace referencia, los juegos de papeles entre los actores de una situación didáctica, resortes del juego, del contrato y de la transportación. Una buena puesta didáctica se apoya necesariamente sobre  el conocimiento de la dificultad relativa de las tareas cognitivas, de los obstáculos que habitualmente se encuentran, del repertorio de procedimientos disponibles, y de las representaciones posibles. Existen varios objetivos que deben guiar a la didáctica los cuales pueden ser el estudiar las condiciones que deben cumplir los problemas propuestos al estudiante para favorecer la aparición y el funcionamiento de conceptos. Por otra parte debe propiciar el rechazo de los conocimientos previos que impiden el aprendizaje. Por otra parte plantea que hay que construir sentido; es decir que el estudiante debe tener una constante interacción con las situaciones problemáticas. Es decir ha de mantener una interacción de tipo dialéctico con todos los conocimientos anteriores: revisarlos, modificarlos, complementarlos, e incluso rechazar aquellos que no funcionan, los que no son claros y que no sugieren temas nuevos. Los obstáculos ponen problemas de didáctica más fundamentales. Si la instalación de los conocimientos en el estudiante se produce necesariamente según el esquema de una sucesión de concepciones diferentes, cada una formando más o menos un obstáculo a la siguiente, entonces las numerosas prácticas didácticas justificadas por el modelo clásico simplemente aditivo, deben revisarse y pueden rechazarse.

http://www.slideshare.net/anaidvelazquez/didctica-7541338

¿Qué es didáctica?

LA TECNOLOGÍA EN LA EDUCACIÓN

LA TECNOLOGÍA EN LA EDUCACIÓN

 La ciencia y la tecnología (como partes integrantes del proceso social) son un medio de producción adicionales, un elemento más dentro del proceso social y sus efectos serán positivos o negativos según la función que adopten dentro del proceso económico, ya que la verdad no es importante en cuanto tal sino que la búsqueda está dirigida por el principio de utilidad.  Las exigencias de la Globalización, junto con las posibilidades tecnológicas, tuvieron entre tantas consecuencias, una nueva “forma” de educar. Consideramos que existan los avances que existan el fin último de la educación es ayudar a formar personas, es decir, seres autoconscientes, responsables, libres, dotados de dignidad y derechos especiales; y no simplemente capacitarlas, es por ello que nos referimos a “formas” . La tecnología ha sido un factor que ha cambiado la forma de educar, pero el nuevo escenario ya no es sólo la utilización de tecnología como herramienta didáctica dentro del aula.

Por tal motivo  se enumeraron algunos de los grandes desafíos que tienen las personas que educan a través de las nuevas tecnologías de la comunicación: 1- Seguir siendo formadores de personas, ya que este fin último de la educación aún no ha cambiado, por lo menos desde nuestra perspectiva. 2- Utilizar la tecnología como medio formador de personas, estando siempre alertas de no realizar una manipulación ideológica de las herramientas (preguntarse y repreguntarse cómo y para qué), ya que consideramos que el uso de la tecnología por ella misma no tiene sentido porque significa convertir a la tecnología fin en sí misma. 3- Ser absolutamente concientes que la educación es una de las condiciones que necesita cada nación y cada persona para acceder a una posición mejor dentro del mundo globalizado. 4- Tener presente que el modo de interactuar con los alumnos en los espacios virtuales son absolutamente distintos, por tanto los métodos a utilizar deberán ser distintos. Es necesario analizar los aspectos negativos y positivos  del uso de la tecnología en las escuelas entre los cuales como aspectos positivos  podemos mencionar la Interacción Continua actividad intelectual. Los estudiantes están permanentemente activos al interactuar con el ordenador y entre ellos a distancia. Mantienen un alto grado de implicación en el trabajo. La versatilidad e interactividad del ordenador, la posibilidad de "dialogar" con él, el gran volumen de información disponible en Internet..., les atrae y mantiene su atención. Promueve el desarrollo de la iniciativa ya que la constante participación por parte de los alumnos propicia el desarrollo de su iniciativa ya que se ven obligados a tomar continuamente nuevas decisiones ante las respuestas del ordenador a sus acciones. Se promueve un trabajo autónomo riguroso y metódico através del aprendizaje a partir de los errores. El "feed back" inmediato a las respuestas y a las acciones de los usuarios permite a los estudiantes conocer sus errores justo en el momento en que se producen y generalmente el programa les ofrece la oportunidad de ensayar nuevas respuestas o formas de actuar para superarlos. Por ultimo mencionaré los aspectos negativos de las tecnologías los cuales son  la Pérdida de tiempo porque muchas veces se pierde mucho tiempo buscando la información que se necesita: exceso de información disponible, dispersión y presentación atomizada, falta de método en la búsqueda...  También se encuentran con Informaciones no fiables ya que  en Internet hay muchas informaciones que no son fiables: parciales,  equivocadas, obsoletas.  Lo cual genera  aprendizajes incompletos y superficiales debido a  la libre interacción de los alumnos.